Пути применения результатов методического анализа задачного материала

Авторы: Алейникова Алина Олеговна, Сычева Надежда Васильевна, Хасанова Наталья Алефтиновна

.

Рубрика: Педагогика

Страницы: 90-94

Объём: 0,22

Опубликовано в: «Наука без границ» № 4(32), апрель 2019

Скачать электронную версию журнала

Библиографическое описание: Алейникова А. О., Сычева Н. В., Хасанова Н. А. Пути применения результатов методического анализа задачного материала // Наука без границ. 2019. № 4(32). С. 90-94.

Аннотация: Представлен анализ задачного материала в теме «Интегрирование разложением». Все задачи этой темы разбиты на группы, выделены особенности задач каждой группы, в соответствии с которыми предложены рекомендации студентам (они оформлены в виде таблицы) по поиску способа решения того или иного интеграла из рассматриваемой темы. Тем самым продемонстрирован еще один из путей применения результатов методического анализа задачного материала.

По данным проведенного нами опроса, около шестидесяти процентов студентов технических направлений подготовки испытывают трудности при изучении темы «Неопределенный интеграл». Сложности возникают как при выборе того или иного метода интегрирования, так и при выполнении отдельных шагов используемого метода. Например, при вычислении интеграла методом разбиения затруднения вызывает способ представления подынтегрального выражения в виде суммы более простых функций.

Как научить студентов преодолевать эти трудности? Чтобы ответить на этот вопрос, нами проведен методический анализ задачного материала из [1] и [2].

Методический анализ задачного материала представляет собой исследование условий всех задач темы (раздела), используемых идей, методов и способов их решения, объединение задач в группы по цели их использования и выделение существенных различий между задачами в пределах одной группы. Такой анализ задачного материала позволяет абстрагироваться от несущественных моментов задач, сконцентрировать внимание на сути решения, на приемах, которые необходимо освоить обучающимся для успешного решения, прогнозировать возможные математические затруднения и целесообразно использовать задачный материал как средство формирования комплекса умений.

Проанализируем в качестве примера задачи в теме «Интегрирование разложением».

Проведенное исследование показало, что задачный материал можно разбить на две группы. К первой отнесем те задачи, в которой подынтегральная функция уже представляет собой сумму более простых функций, ко второй – те, в которых подынтегральная функция дана в ином виде (это может быть произведение формула или частное формула).

Основываясь на данных анализа, мы можем выделить особенности задачного материала внутри обозначенных групп. В данном случае интерес представляют особенности задач второй группы. Они заключаются в том, какими функциями представлено подынтегральное выражение:

- алгебраическими формула

- тригонометрическими 

- показательными 

- иррациональными 

- комбинацией вышеуказанных функций 

Подынтегральная функция может быть представлена правильной или неправильной дробью, являться частным многочлена (суммы, произведения функций) на одночлен , или одночлена на многочлен (сумму, произведение функций) , или многочлена на многочлен .

При выделении особенностей задач обратим внимание на способы преобразования данного интеграла к сумме более простых интегралов. К этим способам относятся:

- раскрытие скобок по правилу умножения многочлена на многочлен:

- по формулам сокращенного умножения:

  

- почленное деление многочлена на одночлен:

  

- многочлена на многочлен:   

  

- представление числителя дроби в виде суммы, содержащей в качестве слагаемого знаменатель или множитель знаменателя: 

- домножение дроби на выражение сопряженное знаменателю: 

- преобразование одного из сомножителей к виду, содержащему другой: 

- применение тригонометрических формул:  и другие.

Возникает вопрос: как обобщить результаты анализа задачного материала таким образом, чтобы помочь студентам преодолеть трудности решения задач этой группы.

Мы пришли к выводу, что при изучении темы нужно рассматривать три вида интегралов:

1) подынтегральная функция есть сумма функций,

2) подынтегральная функция – произведение функций,

3) подынтегральная функция – частное функций.

Такое разбиение позволяет производить анализ условия заданного интеграла, обращать внимание на то, какие функции входят в структуру подынтегрального выражения, какими операциями они связаны, и сужает область поиска способа решения задач данной группы. Например, если требуется найти интеграл от частного функций методом разложения, нужно преобразовать числитель и знаменатель так, чтобы после почленного деления получить сумму более простых функций.

В помощь студентам можно предложить таблицу-«подсказку» (табл. 1), в которой отражены основные приемы при вычислении интегралов методом разложения.

Таблица 1

Основные приемы при вычислении интегралов методом разложения

Структура подынтегрального выражения

Сумма

Произведение

Дробь

Алгебраические, показательные функции

Представить подынтегральное выражение в виде суммы функций

Раскрыть скобки:

- умножить многочлен на многочлен,

- применить формулы сокращенного умножения,

- применить определение, свойства степени.

1. В числителе получить сумму, в знаменателе произведение функций.

2. Представить числитель в виде суммы, содержащий в качестве слагаемого знаменатель или множитель знаменателя (если возможно), для этого:

- сгруппировать слагаемые числителя,

- «прибавить», «вычесть» недостающие слагаемые.

3. Почленно разделить числитель на знаменатель.

Тригонометрические функции

1. Применить тригонометрические преобразования, приводящие к сумме функций.

2. Раскрыть скобки:

- умножить многочлен на многочлен,

- применить формулы сокращенного умножения.

1. В числителе получить сумму, в знаменателе произведение функций, используя:

- формулы произведения тригонометрических функций,

- тождество .

2. Почленно разделить числитель на знаменатель.

Иррациональные выражения

Представить подынтегральное выражение в виде суммы функций

Раскрыть скобки:

- умножить многочлен на многочлен,

- применить формулы сокращенного умножения,

- применить определение, свойства степени.

Использовать такие же приемы, как и для частного алгебраических функций.

В интегралах, знаменатель которых имеет вид , домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Комбинация функций

1. Использовать вышеуказанные приемы в зависимости от входящих в выражение функций.

2. Упростить выражение, используя свойства функций, входящих в его состав.

В интегралах вида  привести одночлен к виду подкоренного выражения.

1. Использовать вышеуказанные приемы в зависимости от входящих в выражение функций.

2. Упростить выражение,  используя свойства функций, входящих в его состав.

Таким образом можно провести методический анализ задачного материала по каждой теме раздела «Неопределенный интеграл» и представить его результаты, оформленные в виде таблиц, схем и т.п., в качестве рекомендаций, направляющих действия студентов во время поиска способа решения того или иного интеграла.

Список литературы

1. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. Учеб. пособие для втузов. – 14-е изд., испр. – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2004. – 336 с.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учеб. пособие для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 560 с.

 Материал поступил в редакцию 15.04.2019
© Алейникова А. О., Сычева Н. В., Хасанова Н. А., 2019