О развитии постановок задач управления портфелем ценных бумаг во времени и на основе прогнозирования эффективности активов

Авторы: Симаков Игорь Павлович, Гурин Карина Владимировна, Быков Алексей Александрович

.

Рубрика: Технические науки

Страницы: 22-26

Объём: 0,27

Опубликовано в: «Наука без границ» № 6(34), июнь 2019

Скачать электронную версию журнала

Библиографическое описание: Симаков И.П., Гурин К.В., Быков А.А. О развитии постановок задач управелния портфелем ценных бумаг во времени и на основе прогнозирования эффективности активов // Наука без границ. 2019. № 6(34). С. 23-26.

Аннотация: Эффективно работающий рынок ценных бумаг выполняет важные функции, способствуя, в частности, перераспределению инвестиционных ресурсов, обеспечивая их концентрацию в наиболее доходных и перспективных отраслях. Посредством рынка ценных бумаг реализуется механизм функционирования финансовых каналов, по которым сбережения перетекают в инвестиции. Постановка классической задачи, сформированная Марковицем и Тобиным в конце XX века, актуальна и по сей день. Описанные математические методы позволят под другим углом взглянуть на эти задачи, оценить их достоинства и недостатки.

Анализ и восприятие большого количества числовых данных, находящихся в кругах фондовых рынков, чрезвычайно сложны для исследователя. Задачи оптимизации и интерпретации полученных результатов ставились ещё в конце прошлого века. Попробуем по-новому взглянуть на эти задачи с применением актуального математического аппарата.

Практика выявляет недостатки изложенного Марковицем и Тобиным подхода к задаче оптимизации портфеля ценных бумаг [1, c. 3].

На самом деле рынок является неравновесным. Следовательно, последовательные приращения показателей эффективности взаимозависимы, существует дрейф статистических характеристик переменных. Далеко не всегда этим можно пренебречь. Тогда оказывается необходимой периодическая верификация параметров модели. Портфель не может оставаться неизменным по структуре на больших интервалах времени. В этих условиях дисперсия эффективности уже не может служить удовлетворительной мерой риска инвестора. И нужна другая постановка задачи.

Для этого случая предлагается иная характеристика риска, а именно степень точности прогнозирования поведения эффективности ценной бумаги. Тогда риск определяется не амплитудой колебания процесса, а возможностью его прогнозировать. Для этого нужно, конечно, уметь оценивать количественно достоверностью производимого прогноза.

Профессором СПбГПУ А.А. Первозванским предложено строить оптимальный портфель на основе прогноза поведения показателей эффективности ценных бумаг, включенных в портфель, и делать оценки надежности (достоверности) этого прогноза [2, с. 1].

Оказывается, что при таком подходе удается сформулировать математическую задачу, идентичную задаче Марковица-Тобина. Однако интерпретация предлагаемой новой задачи совершенно иная. Покажем это.

Согласно предложенному подходу выберем функцию полезности следующего вида:

 

где символ (^) соответствует прогнозу величины, mp(t) – желаемый уровень эффективности портфеля в момент времени t.

Модель, выбранная для прогноза поведения эффективности, может быть записана в общем виде:

Здесь  – ошибка прогноза. Величина дисперсии ошибки прогноза эффективности портфеля  может быть приведена к виду:

Таким образом, задача оптимизации портфеля при предложенном подходе сводится к следующей задаче квадратичного программирования:

(1)

В отличие от решения задачи Марковица-Тобина решение задачи (1) может существенно меняться с добавлением относительно небольшого числа данных, то есть оно оказывается чувствительным к кратковременным тенденциям [3, c. 2].

Новый подход предусматривает непрерывную коррекцию состава портфеля, используя идеи адаптации, самонастройки и в том числе «самоорганизации» структуры.

Однако отметим, что возможно оценить величину параметра  – интервала надежного прогноза. Тогда после решения задачи (1) в момент t0 данные могут собираться в течение времени , и задача решается вновь в момент .

Численное значение  будет зависеть от , так как дисперсия ошибки прогноза и, следовательно, риск будут неизбежно расти с увеличением  интервала надежного  прогноза .

Отметим, что применяемая для оценки элементов матрицы ковариаций  определяющей поведение , так называемая «бета-модель», непосредственно переносится и на случай новой постановки задачи. Так же как в классической задаче, это позволяет сократить число оцениваемых неизвестных при оценке величин элементов матрицы .

В некотором смысле «промежуточной» является следующая схема. Если предположить, что статистические характеристики  и  не стабильны, как в модели равновесного рынка, но в то же время меняются относительно медленно, то можно аппроксимировать их поведение на изучаемом отрезке времени  кусочно-постоянными функциями.

Тогда при решении задачи в момент t = T необходимо предсказание (прогнозирование), но не численного значения случайного процесса   на следующем шаге, как в предложенном выше подходе, а прогнозирование дрейфа статистических характеристик поведения эффективности в среднем  в среднем. Реализацию этого подхода возможно осуществить двумя путями.

Первый путь реализации основан на кусочной бета-модели. Предполагается, что коэффициенты бета-модели также ведут себя кусочно-линейно на

Второй путь основан на самостоятельном (независимом) оценивании ,  без применения бета-модели. Матрица ковариаций при этом вообще может рассматриваться постоянной на интервале кроме, естественно, диагональных элементов.

В обоих случаях задача о нахождении оптимального портфеля формулируется таким образом:

 

где символ (^) обозначает, что величина прогнозируется.

При реализации первого пути прогноз поведения и , а также недиагональных элементов матрицы ковариаций основан на прогнозе поведения коэффициентов бета-модели (2n), а также  и , где rm – так называемая эффективность рынка:

то есть всего (2n + 2)  независимо прогнозируемых величин.

Во втором варианте реализации (2n) величин  и   прогнозируются непосредственно по своей предыстории, а недиагональные элементы матрицы ковариаций считаются «медленными» переменными и прогноз по ним не ведется.

Скажем пару слов об управлении во времени. Портфелю ценных бумаг можно сопоставить эффективность:

 

где Т – знак транспонирования вектора X.

У Марковица в работе эффективность рассматривается как случайная величина, и в качестве функции полезности служит ее математическое ожидание, но вопрос получения оценки этой и других характеристик поведения эффективности не обсуждается [1, с. 1].

У Элтона и Грубера этот анализ сводится к получению оценки констант, так называемой бета-модели:

,

где ,  – систематические случайные составляющие модели.

Но можно предложить и другие модели поведения случайных величин ri(t):

В качестве же функции полезности тогда можно выбрать следующую величину: , где m (t + 1)– желаемый уровень эффективности портфеля ценных бумаг в момент (t + 1) и

 дисперсия ошибки прогноза эффективности портфеля.

Таким образом, задача оптимизации портфеля при таком подходе сводится к следующей задаче квадратичного программирования:

(2)

 Решение подобной задачи возможно и на несколько шагов вперед в случае, если ведется соответствующий прогноз поведения R(t) Это может быть необходимо в случае ограничений на оперативность выполнения решения о распределении капитала (формирование – коррекция портфеля), что может быть вызвано низкой ликвидностью ценных бумаг, включенных в портфель.

В результате решения задачи типа (2) будет получена последовательность , задающая оптимальное управление портфелем на интервале  [t + 1,T].

На практике часто применяется технический анализ поведения курса той или иной ценной бумаги, позволяющий с некоторой степенью вероятности предсказывать тенденции курса, а значит, и эффективности вложений, но он дает, скорее, лишь качественные оценки и, тем более, не позволяет провести анализ, каким должно быть распределение капитала по некоторому набору ценных бумаг.

Общим недостатком рассмотренных подходов является то, что они не учитывают существующей на практике разницы цены покупки и продажи ценных бумаг (так называемый «спред»), а также возможных ограничений со стороны ликвидности ценных бумаг, включенных в портфель. Если учесть эти факторы, то задачу (2) можно сформулировать иначе:

  

здесь k – коэффициент спреда.

Заключение.

Из рассмотрения постановок задач управления портфелем ценных бумаг вытекает объем задач, которые должна выполнять информационно-вычислительная система (ИВС) для подготовки исходных данных для их решения, то есть принятия решений об оптимальном распределении капитала. При этом ИВС должна воспринимать данные о предыстории финансовых рынков, выполняя следующие задачи: преобразование данных в свои форматы; визуализацию в графическом виде различных требуемых процессов; вычисление средних значений; вычисление третьих и четвертых моментов доходностей   ценных бумаг; вычисление на различных временных интервалах автокорреляционных и взаимно корреляционных функций доходностей; реализация оптимизирующего управления инвестиционным портфелем, решение задачи квадратичного программирования.

Список литературы

1. Markowitz H. Portfolio selection // J. of Finance. 1952. 7 (1). p. 77-79.

2. Первозванский А.А. Математические методы на финансовом рынке // Соросовский образовательный журнал. 1998. № 9. С. 121-127.

3. Tobin J. Liquidity preference as behaviour towards risk // Rev. of Econ. Stud. 1958. no. 26 (1). p. 65-86.

 

Материал поступил в редакцию 20.05.2019

© Симаков И.П., Гурин К.В., Быков А.А., 2019