Ветвящиеся конструктивные формы. Математическое моделирование

Авторы: Митин Владимир Васильевич, Митин Владимир Владимирович

.

Рубрика: Технические науки

Страницы: 59-61

Объём: 0,18

Опубликовано в: «Наука без границ» № 6 (11), июнь 2017

Скачать электронную версию журнала

Библиографическое описание: Митин В. В., Митин В. В. Ветвящиеся конструктивные формы. Математическое моделирование // Наука без границ. - 2017. - № 6 (11). - С. 59-61.

Аннотация: Ветвящаяся геометрическая форма является результатом процесса функциональной организации биологических систем, который реализуется на различных уровнях морфологической и функциональной их организации. Авторами проведены исследования морфологии биологических объектов: листьев виктории регии, клена и других растений. Установлены общие закономерности ветвления нерватуры, формирующей поверхность листьев в процессе их роста, которые относятся к дихотомически ветвящимся структурам. В результате исследований получены математические модели ветвящихся структур, которые позволяют строить алгоритмы проектирования трансформируемых ветвящихся конструкций разнообразных технических систем, которые в отличие от классических, традиционно применяемых в технике и архитектуре, характеризуются более рациональной геометрической компоновкой конструктивных элементов. При этом без снижения прочности оболочки существенно снижается общий вес конструкции.

Ветвление является одним и основных пространственно-временных процессов роста и развития природных систем. Ветвящаяся геометрическая форма – как результат этого процесса, – реализуется на различных уровнях морфологической и функциональной организации биологических, геологических и космологических систем и объектов. Ветвящиеся структуры по способу ветвления подразделяются на три типа: моноподиальный, симподиальный и дихотомический. Последний тип является эволюционно более древним.

Авторами проведены исследования морфологии биологических объектов: листьев виктории регии, клена и других растений. Установлены общие закономерности ветвления нерватуры, формирующей поверхность листьев в процессе их роста, которые относятся к дихотомически ветвящимся структурам.

С формальной точки зрения дихотомически ветвящуюся структуру, как любую другую, с иным типом ветвления, удобно представить в виде узлов ветвления и связей между ними. Примером таких систем могут служить структуры гелей, образующиеся при свертывании органических растворов. Для математического моделирования таких структур авторы использовали метод регуляризации пространства элементарными частицами. Этот метод, начиная с работ И. Кеплера, Р. Гука, Х. Гюйгенса и других ученых широко используется в кристаллографии и других научных дисциплинах.

Системное обобщение этого метода, приводит к понятию динамических пространственных решеток, геометрические параметры которых регулярно изменяются в пространстве. Изорадиальная и изогональная дихотомически ветвящиеся структуры формируются на основе таких решеток.

Изорадиальная дихотомически ветвящаяся структура строится на основе двумерной решетки дихотомического ветвления, радиальные связи (r-связи или r-компоненты) которой характеризуются заданной постоянной величиной (длиной). Переменной величиной здесь является угол ветвления (νi) между двумя сопряжениями rj-компонентами одного и того же порядка ветвления (rj = const, ν = var).

Изогональная дихотомическая структура также строится на основе двумерной решетки дихотомического ветвления, но в отличие от изорадиальной дихотомии, радиальная связь в такой структуре является переменной величиной (rj = var), а величина угла ветвления – постоянной (ν = const).

Параметрами, определяющими геометрию обоих структур, являются угол раскрыва (θ) ветвящегося элемента, дихотомический угол ветвления (ψ), угол ветвления (ν) сопряженных r компонентов одноименного порядка ветвления (γ), длина радиального (lr) и длина тангенциального (lt) компонентов.

В полярных координатах позиция i-го узла j-го узлового ряда двумерной изорадиальной дихотомически ветвящейся структуры решетки задается радиус-вектором Rj и соответствующим полярным углом φij. Величины Rj и φij определяются из соотношений:

Расчет радиус-вектора;     (1)

где φ0 – начальный полярный угол; Rl = lr = сonst. При этом  Формула для расчета полярного угла;

Угол ветвления.     (2)

Длина тангенциального компонента, связывающего два соседних узла i и (i+1) узлового ряда j, определяется из выражения:

Длина тангенциального компонента     (3)

Позиция i-го узла j-го узлового ряда двумерной изогональной дихотомически ветвящейся решетки задается радиус-вектором Rj и соответствующим полярным углом φij, значения которых определяется из соотношений:

Радиус-вектор;    Полярный угол  (4)

Длина радиальных и тангенциальных компонентов определяется по формулам:

Длина радиальных и тангенциальных компонентов;     (5)

Полученные математические модели ветвящихся структур позволяют проектировать трансформируемые конструкции разнообразных технических систем. Такие системы в отличие от классических, традиционно применяемых в технике и архитектуре, характеризуются более рациональной геометрической компоновкой элементов, что позволяет при сохранении необходимой прочности, увеличить жесткость и сократить металлоемкость системы на 10…20 %.

Особенно это важно и необходимо там, где эти параметры составляют основу целевой функции математической модели. В конструировании корпусов кораблей, фюзеляжей и крыльев самолетов, строительстве и архитектуре.

Широкое применение ветвящиеся конструктивные формы в виде сеток могут найти в системах, осуществляющих разделение различных сред, в виде армирующих сеток для фильтрующих элементов. При этом фильтрующий элемент может иметь структуру и нерватуру в виде листа (кленового) с соответствующей толщиной и обладать высокой эффективностью разделения.

 

Материал поступил в редакцию 22.05.2017
© Митин В. В., Митин В. В., 2017