Применение метода Лагранжа к классической портфельной задаче инвестиций Марковица

Аннотация: Одна из самых важных забот инвесторов всех времен - это выбрать лучшее вложение с возможностью максимизировать стоимость своих инвестиций. Есть две стороны для инвестиций, а именно риск и доходность. Как правило, в экономике тот, кто ищет больше прибыли, должен ожидать больше риска, и наоборот. Сформулированная в этой статье схема расчётов позволяет при вариативности входных параметров минимизировать риски.

В условиях постоянного усложнения инвестиционных механизмов, развития системы рынка ценных бумаг, совершенствования финансовых технологий, а также повышенной неопределенности, свойственной отечественному фондовому рынку, особое значение приобретает развитие современных методов анализа и формирования инвестиционного портфеля как фактора снижения совокупного риска [1, c. 32].

Предположим, что у инвесторов есть предпочтения, которые хорошо отражаются в полезности средней дисперсии. То есть, инвесторы предпочитают владеть портфелем, который максимизирует их ожидаемую доходность при условии максимально терпимой волатильности портфеля. Мы признаем, что многих инвесторов меньше волнует волатильность, чем такие риски, как «постоянная потеря капитала», «максимальная просадка» или «ожидаемый дефицит».

Эти альтернативные определения риска хорошо отражаются по среднему значению и дисперсии.

Применим метод Лагранжа к нашей задаче. Идея данного метода состоит в сведении задачи поиска условного экстремума целевой функции [2, c. 544]:

                                                                    (1)

на множестве допустимых значения , описываемом системой уравнений

                                                                      (2)

к задаче безусловной оптимизации функции

где   — вектор дополнительных переменных, называемых множителями Лагранжа. Функцию , где    называют функцией Лагранжа. В случае дифференцирования функций  f и g_i  справедлива теорема, определяющая необходимое условие существования точки условного экстремума в задаче (2). Поскольку она непосредственно относится к предмету математического анализа, приведем ее без доказательства.

Теорема. Если x* является точкой условного экстремума функции (1) при ограничениях (2) и ранг матрицы первых частных производных функций

равен m, то существуют такие , не равные одновременно нулю, при которых  ,

Из теоремы вытекает метод поиска условного экстремума, получивший название метода множителей Лагранжа, или просто метода Лагранжа. Он состоит из следующих этапов.

1. Составление функции Лагранжа

2. Нахождение частных производных

3. Решение системы уравнений

                                                 (3)

относительно переменных 

4. Исследование точек, удовлетворяющих системе (3), на экстремум с помощью достаточного признака.

Для представления решения задачи в рамках условий уделим время преобразованию условий типа «неравенств» в условия типа «равенства».

Так, например, у нас есть условие , преобразуем это неравенство в равенство

 

Таким же образом можно преобразовать условие , которое в дальнейшем нам понадобиться для оптимизации инвестиционного портфеля методом Лагранжа.

                                           (4)

Задача Марковица без ограничения на неотрицательность искомых переменных, решается методом множителей Лагранжа.

Сущность задачи Марковица заключается в нахождении величин , где x_j - доля капитала, вкладываемого в  j– ю ценную бумагу, минимизирующих вариацию эффективности портфеля ценных бумаг

                                                                          (5)

при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности (доходности) портфеля

                                                                         (6)

Кроме того, поскольку  доли от общего капитала, принимаемого за единицу, то должно выполняться условие

                                                                           (7)

Для краткости записи и для компактности изложения метода получения решения сформулированной задачи соотношения (5), (6) и (7) представим в матричной форме:  - является матрицей ковариаций размерностью - матрица-столбец ожидаемых эффективностей ценных бумаг, - единичная матрица-столбец, m_{p -} произвольная фиксированная величина – заданная ожидаемая эффективность портфеля ценных бумаг.

Тогда в кратком виде задача Марковица оптимизации портфеля ценных бумаг формулируется как задача на условный экстремум следующим образом:

 

Используя метод множителей Лагранжа, введем в рассмотрение функцию:

Решение поставленной задачи на условный экстремум должно удовлетворять соотношению  что эквивалентно уравнению

                                                                 (8)

Учитывая, что матрица положительно определенная, а, следовательно, не особая, из (8) получаем

                                                            (9)

Подставляя (9) в (6) и (7), приходим к системе из двух алгебраических уравнений относительно множителей Лагранжа  

                                        (10)

Решив систему алгебраических уравнений (10) и подставив найденные значения  и  в (8), находим явное представление об оптимальной структуре портфеля:

                                                       (11)

где 

Как видно из (11), решение x_opt линейно относительно m_p. Отсюда следует, что  для оптимального портфеля функция  является выпуклой вниз функцией  от m_p. Это же верно и для среднего квадратического отклонения

Если , то это означает рекомендацию вложить соответствующую долю наличного капитала в ценные бумаги j-ого вида. Если же , то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве  (на единицу наличного капитала).

После всего проделанного можно приступить к задаче оптимизации инвестиционного портфеля методом Лагранжа с использованием ограничений, которые выведены в формуле (4) [3, c. 124].

Оптимизация основана на ежемесячной статистике доходности выбранных активов портфеля за данный период времени. Результат оптимизации не предсказывает, какое распределение будет лучше всего работать за пределами данного периода времени, и фактическая производительность портфелей, построенных с использованием оптимизированных весов активов, может отличаться от заданной цели производительности. Необходимые входные данные для оптимизации включают диапазон времени и активы портфеля. Веса и ограничения портфельных активов не являются обязательными.

Проведем численный эксперимент, основываясь на статистических данных показателей индекса Доу-Джонса, полученных из сети Интернет. Для этого построим модель расчетов в виде, представленном на рис. 1.

Рис. 1. Схема оптимизации инвестиционного портфеля в программном комплексе МВТУ

Приведем пример графика структуры вложений для задаваемой эффективности M_p=0,1 на рис. 2 и 3.

 Рис. 2. График оптимальной структуры инвестиционного портфеля, M_p=0,1

Рис. 3. Таблица оптимальных значений

Таким образом, капитал мы должны вложить в акции компаний AIG, BA, C, HD, JNJ, MO приблизительно в долях 0.073/0.072/0.155/0.070/0.57/0.056.

Отрицательными значениями в таблице можно пренебречь так как они очень малы и появляются вследствие не совершенности численных методов интегрирования.

Применительно к индексу Доу-Джонса выполнен вычислительный эксперимент по обработке информации о фактических данных, полученных из сети Интернет о состоянии и предыстории финансового рынка, подтверждающая работоспособность предложенной информационной системы.

При вариации входных параметров можем получить различные оптимальные значения, которые легко интерпретируются конечным пользователем.

В итоге, применив новые ограничения на классическую задачу, сформулированную в конце 20 века, построили схему, позволяющую получить легко интерпретируемый результат, сопровождаемый графическим материалом. Но даже при этом можем заметить несовершенность модели ввиду ограниченности наложения математического аппарата на реальную ситуацию.

Один из первых уроков, который следует извлечь из современной теории портфелельного управления, - не слишком верить какой-либо модели. Ничто не является верной ставкой, вот почему это называется инвестиционным риском. Современная теория портфелей обеспечивает основу для дискуссий, обучения и разработки передового опыта на основе концепций управления портфелями.

Используйте теорию инвестиционного портфеля, чтобы создать собственный фундамент убеждений и стратегий для разумного инвестирования. Не покупайте готовые решения или стратегии, которые пророчат Вам гарантированное вознаграждение. Такие утверждения слишком хороши, чтобы быть правдой. Даже самые лучшие считали, что у них есть теории, которые выдержат испытание временем, только чтобы это доказать необходимо то самое время и большое количество живых ситуаций на рынке.

Список литературы
1. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Издательство «Питер», 2000. – 208 с.
2. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2005. – 544 с.
3. Севастьянов П.В. Финансовая математика и модели инвестиций. Гродно: ГрГУ, 2001. – 183 с.

Материал поступил в редакцию 19.05.2019
© Гурин К.В., 2019