Исследование спутниковых группировок связи, расположенных на круговых орбитах

Аннотация: Рассматриваются модели спутниковых структур межспутниковой связи на разновысоких круговых орбитах.

Введение. Задачи проектирования баллистических структур спутниковых группировок изучаются уже долгое время.

Первые работы были посвящены разработке созвездий искусственных спутников Земли (далее – ИСЗ), осуществляющих однократное и многократное покрытие земной поверхности. Среди зарубежных работ можно отметить работы посвященные системам Navstar, Iridium [1, 2, 3] и др.

Первая крупная работа в этом направлении появилась в трудах Г. В. Можаева [4, 5]. В них было введено понятие кинематически правильных спутниковых структур и задача проектирования спутниковых созвездий на равновысоких круговых орбитах этого класса была решена полностью. Вслед за этими работами появились работы Ш. И. Галиева и В. И. Заботина, в которых изучались спутниковые группировки, расположенные на равновысоких круговых орбитах, не являющиеся, вообще говоря, кинематически правильными [6, 7].

Особый интерес представляют задачи проектирования баллистических структур спутниковых систем, назначение которых – осуществление многоканальной межспутниковой связи с целью обеспечения телефонной связи двух абонентов, находящихся в произвольных точках земной поверхности, по нескольким независимым каналам. В работах [8, 9, 10] и других работах этих авторов изучались модели спутниковых систем глобальной связи, расположенные на равновысоких круговых орбитах или на конгруэнтных эллиптических орбитах. Здесь рассматривались различные модели, обусловленные техническими характеристиками спутников, входящих в группировку.

В настоящей статье рассматривается одна из моделей двухканальной глобальной связи для спутников, расположенных на круговых орбитах, однако орбиты не предполагаются равновысокими. Целью работы является построение модели и проведение серии численных экспериментов для выяснения преимуществ или недостатков такой модели, по сравнению с моделью для равновысоких круговых орбит. Обозначения и терминология работы следуют книге [11].

Построение одной модели систем ИСЗ двухканальной глобальной связи.

Всюду будем предполагать, что спутники системы обладают приемо-передающими устройствами и связь между двумя спутниками системы возможна в любом случае, если прохождению радиосигнала не мешает поверхность Земли с атмосферным слоем заданной толщины.

Систему ИСЗ будем рассматривать как неориентированный граф, вершинами которого являются сами спутники, а под ребром между двумя вершинами будем понимать геометрический отрезок, соединяющий эти спутники. Условием существования ребра будет условие непересечения отрезка с поверхностью Земли или с атмосферным слоем. Это условие будем рассматривать как необходимое и достаточное существования связи между спутниками.

Всюду ниже вершины графа будем обозначать S_i, i = 1,2,3,…n. Землю с прилегающим к ней атмосферным слоем будем считать шаром радиуса R с центром в точке О. Кроме того S_i будем рассматривать и как радиусы-векторы спутников в геоцентрической системе координат с началом в точке О. Через φ_ij  обозначим угол между радиус-векторами S_i и S_j, а через φ₀ его минимальное значение при котором отрезок, соединяющий вершины, имеет с указанной сферой хотя бы одну общую точку. Тогда условием существования ребра между указанными вершинами будет условие φ_ij < φ₀.

Рис 1. К условию существования связи между спутниками S_i и S_j.

Приведем математические формулировки указанных требований.

Через r_i и r_j обозначим длины радиус-векторов вершин S_i и S_j.

Геоцентрические координаты спутника определяются по формулам:

   (1)

где    x, y, z – координаты спутника,  – радиус орбиты, Ω – долгота восходящего узла, i – наклонение орбиты данного спутника.

Из теоремы косинусов следует , а, как легко видеть, .

Таким образом, условие видимости между спутниками S_i и S_j, в данный момент времени, в силу монотонного убывания косинуса на участке [0, 2π], определяется по формуле cos φ_ij > cos φ₀.

Через r₁ и r₂, где r₁ < r₂, обозначим радиусы круговых орбит, на которых расположены спутники системы.

Будем считать, что период T₁ обращения спутника, радиус орбиты которого r₁, в 2 раза меньше периода T₂ обращения спутника, радиус орбиты которого r₂. Тогда, как это следует из [11],

             

где    G – гравитационная постоянная Земли, M – масса Земли. Таким образом, задавая значение r₁, мы можем получить значение r₂.

Теперь по формулам 1, зная радиусы орбит, мы можем вычислить геоцентрические координаты спутника как функции угла u₂  [0; 2π], если спутник находится на орбите радиуса r₂ и угла u₁ = 2u₂, если спутник находится на орбите радиуса r₁.

Анализ задачи обеспечения спутниковой системой двухканальной глобальной связи.

Как принято считать в литературе по группировкам ИСЗ глобальной связи, система спутников обеспечивает в данный момент времени двухканальную межспутниковую связь, если выход из строя в этот момент времени одного из спутников системы, оставляет возможной радиосвязь между любыми двумя оставшимися спутниками. В работах [8, 9] показано, что система обеспечивает двухканальную межспутниковую связь в данный момент времени, если в этот момент на графе, о котором сказано выше, существует гамильтонов цикл.

Время, в течение которого (начиная с начала движения спутников) существует хотя бы один гамильтонов цикл, назовем временем работы системы без переключений. Ясно, что с момента, когда перестает существовать хотя бы один гамильтонов цикл необходимо выполнить ту же процедуру: отыскивать все гамильтоновы циклы, существующие в этот момент и вновь отыскивать среди них наиболее долгоживущий. Идеальным является случай, когда на периоде движения не будет моментов переключений.

Нашей задачей было проведение серии численных экспериментов для систем, состоящих из различного числа спутников с тем, чтобы выяснить существуют ли ситуации, когда системы на разновысоких орбитах оказываются более долгоживущими, чем системы на равновысоких орбитах.

Программный продукт был создан в среде Visual Studio на языке c#. Расчеты проводились на ПЭВМ MacBook Pro (Retina, 13-inch, Early 2015), поиск гамильтоновых графов проводился алгоритмом Роберта-Флореса.

Ниже приводятся результаты некоторых из численных экспериментов.

Таблицы результатов:

Таблица 1

Тест № 1

Результат: нет связи между спутниками.

Поднимем 3 (1, 3, 5) спутника на кратную орбиту 10092,1 км.

Результат: Связь держалась до u = 8.

Таблица 2

Тест № 2

Результат: связи нет

Поднимем 2 спутника (2, 5) на кратную орбиту 10092,1 км

Результат: связь появилась и держалась до u = 8.

Таблица 3

Тест № 3

Результат: связь держалась до u = 5.

Подняли 2 спутника на 10092,1 км, связь держалась до u = 11 градусов.

Подняли 3 спутника на 10092,1 км, связь держалась до u = 16 градусов.

Таблица 4

Тест № 4

Результат: связь держалась до u = 56.

Поднимем 2 спутника (1, 5) на 10092,1 км, связь держится до u = 28 градусов.

Поднимем 2 спутника (1, 6) на 10092,1 км, связь держится до u = 40 градусов.

Поднимем 3 спутника на 10092,1 км, связь при этом держится до u = 125 градусов.

Таблица 5

Тест № 5

Результат: связь не оборвалась.

Поднимем 2 спутника (1, 5) на 10092,1 км, связь держалась до u = 40.

Поднимем 2 спутника (2, 5) на 10092,1 км, связь держалась до u = 96.

Вывод: Даже из приведенных результатов мы видим, что произвольное изменение высот орбит части спутников системы может привести как к увеличению длительности работы системы без переключений, так и наоборот.

Мы решали задачу анализа системы. По видимому для окончательного ответа на поставленные вопросы нужно решать задачу синтеза системы, выбирая, например, в качестве оптимизируемого параметра наклонения орбит (из-за прецессии плоскостей орбит не имеет смысла рассматривать орбиты с неравными друг другу наклонениями), кратность периодов обращения, число орбит и тому подобное.

Список литературы

1. Furniss T. Iridium comsat causes headache for insurers // Flight Int. 1991. – V. 140. – № 4228. – P. 24.
2. Lawton J. A. Numerical method for rapidly determining satellite – satellite and satellite – ground station in view periods // J. Guidance, Control and Dynamics. – 1987. – V. 10. – № 1. – P. 32–36.
3. Richards G. Navstar – a complete global navigation system // Space flight. A publication of the Btitish Interplanetary Society. – 1980. – v. 22. – № 1. – P. 2–6.
4. Можаев Г. В. Задачи о непрерывном обзоре Земли и кинематически правильные спутниковые системы. // Косм. Исслед. – 1972. – т. 10. – № 6. – С. 833–840.
5. Можаев Г. В. Задачи о непрерывном обзоре Земли и кинематически правильные спутниковые системы. // Косм. Исслед. – 1973. – т. 11. – № 1. – С. 59–69.
6. Галиев Ш. И., Заботин В. И. О непрерывном обзоре поверхности Земли // Исслед. Земли из космоса. – 1983. – № 1. – С. 117–120.
7. Галиев Ш. И., Заботин В. И. Системы из минимального числа спутников для многократного обзора Земли. // Исслед. Земли из космоса. – № 5. – 1990. – С. 102–108.
8. Галиев Ш. И., Заботин В. И. Модели спутниковых систем глобальной связи и методы анализа и синтеза их структур // Исследования Земли из космоса. – 1993. – № 5. – С. 66–74.
9. Заботин В. И. Модели спутниковых систем глобальной связи на эллиптических орбитах // Исследования Земли из космоса. – 1994. – № 5. – С. 70–77.
10. Дуллиев А. М., Заботин В. И. Анализ баллистических структур спутниковых систем многоканальной связи на прецессирующих эллиптических орбитах // Космические исследования. – 2003. – Том 41. – № 6. – С. 616–621.
11. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. – М. : Наука, 1965. – 540 с.

 

Материал поступил в редакцию 16.05.2017
© Габдуллин А. А., 2017