Оптимальное управление маневром космического аппарата для осуществления мягкой посадки на поверхность Луны

Аннотация: Работа посвящена проблеме оптимального управления маневром космического аппарата для осуществления мягкой посадки на поверхность Луны после этапа основного торможения. Разработана методика формирования программной траектории с использованием методов оптимального управления, целью которого является минимизация расхода топлива.

Оптимальный закон управления

Движение космического аппарата (далее – КА) на завершающем этапе посадки на Луну описывается следующими уравнениями [1, 3]:

              (1)

где:   x₁ = x – расстояние до точки посадки, м;

x₂ = V_x – горизонтальная составляющая скорости, м/с;

x₃ = y – высота полета, м;

x₄ = V_y – вертикальная составляющая скорости, м/с;

x₅ = m – масса КА, кг;

u₁ = u – угол тангажа, град (0⁰ – продольная ось КА расположена горизонтально и направлена в точку посадки, 90⁰ – продольная ось КА направлена вертикально вверх);

u₂ = b – степень дросселирования основного двигателя (b_min ≤ u₂ ≤ b_max);

P – тяга основного жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) при текущем значении степени дросселирования, Н (P = P_maxu₂);

P_max – максимальная тяга основного ЖРД, Н;

b_max – максимальный секундный расход топлива основным ЖРД, кг/с;

g_lun – ускорение свободного падения на поверхности Луны, м/с².

Уравнения (1) определены на конечном интервале времени t₀ ≤ t ≤ t_f. Значения переменных состояния в данной задаче в начальный t₀ и завершающий t_f моменты времени, т. е. граничные условия, имеют следующий вид:

            (2)

Закон оптимального управления движением КА на завершающем этапе посадки на Луну в данной работе получен с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина [1-4]. Данный закон управления должен перевести КА из начального состояния в завершающее состояние H(t_f) = L(t_f) = V_x(t_f) = V_y(t_f) = 0 при условии, что u(t₀) = 90º. Целью управления является минимизация расхода топлива Δm основным ЖРД КА при выполнении посадки. Так как Δm = m₀ - m_f, данная задача эквивалентна максимизации массы КА в момент посадки m_f = m(t_f). Таким образом, решаемая задача является задачей Майера теории оптимального управления, в которой в качестве критерия оптимальности принимается величина m(t_f). Полученное решение данной задачи представляет собой набор зависимостей от времени для управляющих переменных u₁(t) = u(t) (угол тангажа) и u₂(t) = b(t) (степень дросселирования основного ЖРД КА).

Согласно принципу максимума, управление, обеспечивающее получение максимальной массы m(t_f) и, соответственно, минимального расхода топлива Δm при выполнении операции посадки КА на Луну, должно минимизировать значение функции Гамильтона (гамильтониана) H(x, Ψ, u), определяемой через правые части уравнений (1) и вновь вводимые сопряженные переменные Ψ = (Ψ₁…Ψ₅) следующим 

        (3)

где    x = (x₁, …, x₅), u = (u₁, u₂) – переменные состояния КА, определяемые уравнениями (1), а также его управляющие переменные;

         Θ(x, u) – правые части уравнений (1).

С учетом (1) гамильтониан (3) записывается в виде:

     (4)

Для существования управления, минимизирующего расход топлива или, что-то же самое, максимизирующего массу КА m(t_f) в завершающий момент времени t = t_f, согласно принципу максимума требуется, чтобы в любой момент времени t₀ ≤ t ≤ t_f функция Гамильтона H(x, Ψ, u) достигала абсолютного минимума на множестве допустимых управлений. От управления зависит только часть H₁(u) гамильтониана H(x, Ψ, u).

Управление угловым движением КА, требуемое для отработки программы по тангажу, осуществляется с помощью двигателей системы ориентации, имеющих фиксированную тягу при включении и, соответственно, обеспечивающих постоянное значение углового ускорения α_угл. Может меняться только знак α_угл (разгон-торможение углового движения), а также моменты времени включения-выключения двигателей.

Следовательно, закон управления по тангажу состоит из следующих пяти ветвей:

    (5)

Логика закона управления по тангажу (5) определяется следующими соображениями, определяющими характер соотношений, реализуемых соответствующими ветвями u_i(t), i = 1, …, 5 (рис. 1).

Рис. 1. Программа оптимального управления КА по углу тангажа и тяге

Моменты времени переключения ветвей законов управления: t₀ – начало выполнения посадки при u₀ = 90º, включение двигателей системы ориентации для разгона угловой скорости тангажа с постоянным угловым ускорением α_угл; t₁ – переключение двигателей системы ориентации для торможения угловой скорости тангажа с постоянным угловым ускорением α_угл; t₂ – момент достижения минимального значения угла тангажа u_min; t₃ – выключение двигателей системы ориентации, начало участка полета с постоянной угловой скоростью тангажа при α_угл = 0; t₄ – завершение участка полета с постоянной угловой скоростью тангажа при α_угл = 0, включение двигателей системы ориентации для уменьшение угла тангажа; t₅ – момент достижения максимального значения угла тангажа u_max; t₆ – переключение двигателей системы ориентации для торможения угловой скорости тангажа; t₇ – завершение выполнения посадки при u₀ = 90º, выключение двигателей системы ориентации; t_p1, t_p2 – включение режима максимальной (b_max) и минимальной (b_min) тяги основного ЖРД для формирования разгонного импульса; α_угл – угловое ускорение, создаваемое двигателями системы ориентации КА (-α_угл и +α_угл – на уменьшение и увеличение угла тангажа, соответственно).

Применительно к условиям рассматриваемой задачи оптимальным для закона управления по степени дросселирования двигателя (т. е. по тяге) является двухимпульсный вариант, при котором в начале полета подается импульс на разгон КА, а в конце полета – на его торможение. При этом значение тяги в обоих импульсах должно быть максимальным, а в промежутке между импульсами, а также до первого (разгонного) импульса – минимальным. Соответственно, величина импульса тяги будет зависеть только от промежутка времени, в течение которого двигатель будет развивать максимальную тягу.

Учитывая, что развиваемая тяга определяется степенью дросселирования двигателя, закон управления по тяге имеет вид:

P(P_max, P_min) = f(t),                                                                                    (6)

где:   P_max, для t_p1 ≤ t ≤ t_p2 или t_p3 ≤ t ≤ t_p4; P_min, в остальных случаях.

Здесь P_min, P_max – минимальная и максимальная степени дросселирования двигателя, соответственно; t_p1, t_p2, t_p3, t_p4 – моменты времени переключения тяги двигателя (t_p1, t_p2 – моменты начала и завершения разгонного импульса; t_p3, t_p4 – моменты начала и завершения тормозного импульса).

В общей сложности, законы управления по тангажу (5) и тяге (6) в рассматриваемом случае имеют пять варьируемых параметров: моменты времени t₁, t_p1, t_p2, t_p3, t_p4. Варьирование этих параметров осуществляется для удовлетворения граничных условий по высоте, удалению от точки посадки, горизонтальной и вертикальной скорости в точке посадки, т. е. H(t_f) = L(t_f) = V_x(t_f) = V_y(t_f) = 0, с приемлемой точностью.

В результате решения задачи оптимизации задается значение времени выполнения задачи посадки и для каждого из этих вариантов вычисляется алгоритм включения двигателей, обеспечивающий движение летательного аппарата из точки зависания в точку посадки при минимуме затрат топлива. Результаты исследований для времени выполнения задачи 80 сек представлены на рис. 2-8.

Исходные данные и основные результаты для данного варианта имеют следующий вид:

- исходные данные:

H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с; m₀ = 10700,0 кг

X₀ = 200,0 м; y₀ = 200,0 м; m₀ = 10700,0 кг; t₀ = 0,0; t_f = 80,0 с;

- минимальное и максимальное значение угла тангажа:

u_min = 85,9084º; u_max = 94,1049º;

- моменты времени переключения для закона управления по тангажу:

t₁ = 2,077; t₂ = 4,154; t₃ = 4,2745; t₄ = 75,7255; t₅ = 75,846; t₆ = 77,923; t₇ = 80,0.

- углы тангажа в моменты времени сопряжения ветвей 2 и 3 (u₃ = 85,9153º), 3 и 4 (u₄ = 94,098º) в законе управления по тангажу;

- моменты времени переключения для закона управления по тяге:

t_p1 = 0,497; t_p2 = 10,75; t_p3 = 69,545; t_p4 = 80,0

- величины погрешностей по фазовым координатам в завершающий момент времени:

x_f = -0,14658 м; V_xf = -0,0055517 м/с; y_f = 0,070645м; V_yf = -2,4757 м/с;

- масса КА в завершающий момент времени и расход топлива на выполнение посадки:

m_f = 10246,1661 кг; Δm = 453,8339 кг;

- величина суммарной линейной и квадратичной погрешности в завершающий момент времени:

E₁ = 2,6985; E₂ = 6,1558.

Рис. 2. Программа оптимального управления по углу тангажа и тяге для случая H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с; m₀ = 10700,0 кг

Рис. 3. Изменение дальности при оптимальном управлении по углу тангажа и тяге при H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с; m₀ = 10700,0 кг

Рис. 4. Изменение горизонтальной скорости при оптимальном управлении по углу тангажа и тяге при H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с; m₀ = 10700,0 кг

Рис. 5. Изменение высоты при оптимальном управлении по углу тангажа и тяге при H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с; m₀ = 10700,0 кг

Рис. 6. Изменение вертикальной скорости при оптимальном управлении по углу тангажа и тяге при H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с; m₀ = 10700,0 кг

Рис. 7. Изменение массы при оптимальном управлении по углу тангажа и тяге при H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с

Рис. 8. Зависимость H(L) при оптимальном управлении по углу тангажа и тяге при H₀ = 200,0 м; L₀ = 200,0 м; t_f = 80,0 с

Как видно из рис. 8, при реализации оптимального закона управления посадкой КА, траектория полета имеет два участка – восходящий и нисходящий. В рассматриваемом случае, при времени полета 80 с, на восходящей части траектории КА осуществляет значительный набор высоты – со стартового значения, равного 200 м, до значения в самой верхней точке траектории, равного 780 м. Это является следствием небольшой величины диапазона допустимых углов тангажа (между u_min = 85,9084º и u_max = 94,1049º). Стартовые значения горизонтальной V_x и вертикальной V_y скорости КА равны нулю, при этом для преодоления расстояния в 200 м до точки посадки требуется сообщить КА некоторое значение V_x, максимальное значение для нее в рассматриваемом случае равно 3.3 м/с. Разгон КА до этой скорости, как и последующее его торможение для удовлетворения граничному условию по V_x, осуществляется путем выхода КА на угол тангажаu_min = 85,9084º при его разгоне и u_max = 94,1049º при торможении. За счет этого появляется горизонтальная составляющая силы тяги основного ЖРД, равная P_x = P_maxcosu. Однако кроме горизонтальной составляющей P_x появляется также и вертикальная составляющая P_y = P_maxsinu, которая существенно превышает по своей величине горизонтальную составляющую. Согласно принципу максимума Л. С. Понтрягина, управление должно минимизировать значение функции Гамильтона для того, чтобы получить максимальное значение массы КА в завершающий момент времени. Так как управление тягой входит в гамильтониан линейно, это означает, что в промежуток времени, когда осуществляется разгон КА до требуемого значения V_x, основной двигатель должен развивать максимальную тягу. Вследствие этого, а также того, что из-за малых значений u в этот промежуток времени значение sinu будет близким к 1 и, соответственно, значение компоненты P_y будет близким к P_max. Именно по этой причине превышение по высоте по отношению к стартовой высоте для рассматриваемого случая принимает такое большое значение. Значительными по величине в данном случае будут также и значения вертикальной скорости КА (от –15,5 м/с до +4,5 м/с).

Адаптация программной траектории для обеспечения быстрого синтеза в бортовой вычислительной машине с алгоритмом автоматического определения времени выполнения посадки

Анализ полученных траекторий позволяет сформировать общую идеологию построения такой программной траектории с учетом ограничений, накладываемых на максимальные углы тангажа. Общим принципом является то, что время, затраченное на снижение и устранение рассогласования по дальности до точки посадки, должно быть минимальным. Для сокращения времени движения к точке посадки в горизонтальной плоскости необходимо выполнить разгон до максимально допустимой скорости с последующим торможением (если считать, что ускорение, позволяющее увеличить скорость по модулю равно ускорению, обеспечивающему торможение) для обеспечения требований минимума расхода топлива.

Кроме того, не обязательно вычислять алгоритм включения двигателей, переложив эту задачу на космонавта в процессе выполнения управления, воспринимая информацию о заданных скоростях движения и заданных значениях местоположения ЛВПК в процессе движения к точке посадки.

Алгоритм расчета такой упрощенной траектории может быть реализован в два этапа: движение по продольной координате и движение по вертикальной координате.

1. Движение по продольной координате

Регулировка продольной составляющей скорости осуществляется путем наклона КА относительно вертикали. Таким образом, максимальное значение скорости, которое КА может достигнуть, осуществляя разгон на конечном участке, зависит от допустимого угла наклона КА. В работе рассматривались три варианта ограничений на наклон КА (2,5, 5 и 10 градусов), для которых были рассчитаны программные (заданные) траектории движения.

Согласно выбранному алгоритму аппарату необходимо развить на участке пути от точки зависания, находящейся на высоте 200 м, до точки посадки максимально возможную горизонтальную скорость, а затем выполнить торможение, сведя горизонтальную скорость к 0 в момент нахождения над точкой посадки. Программа изменения продольной скорости должна состоять из разгона до середины пути и торможения на оставшемся равном по расстоянию участке. Для того чтобы учесть на данной траектории процессы выхода на заданный угол тангажа и выполнение перекладки от разгона к торможению, расчет производится по 5 участкам траектории (рис. 9) путем интегрирования упрощенной системы уравнений движения (7).

,                                        (7)

где:   w_z – угловая скорость тангажа;

u – угол тангажа;

P_ДО – тяга двигателей ориентации;

P– тяга подъемно-маршевого двигателя;

F_x – сила, действующая в продольном канале;

F_y – сила, действующая в канале высоты;

m – масса КА;

g_Л – гравитационная постоянная Луны;

V_x – продольная скорость КА;

V_y – вертикальная скорость;

X – продольная координата;

H – высота.

Рис. 9. Управление горизонтальной составляющей скорости

Производится интегрирование системы уравнений при условии включенных двигателей ориентации, создающих вращательное движение по тангажу. Вращение осуществляется до тех пор, пока тангаж не достигнет заданного значения. Вектор состояния КА в конечный момент времени (T_x1, X₁, H₁, u₁, …) является начальным условием для расчета следующего участка.

А) Набор скорости до V_max в течение времени T_x2;

Расчет производится до достижения середины посадочной дистанции L и определяется вектором состояния в конечный момент времени. Из полученного времени движения по участку T_x2ₒ исключается время, необходимое для возвращения КА в вертикальное положение. Так как на возвращение тратится то же время, что и на создание заданного угла, то это время равно T_x1. По полученному времени T_x2 = T_x2ₒ - T_x1 производится интегрирование участка № 2.

Б) Перекладка по углу тангажа продолжительностью T_x3.

Расчет осуществляется аналогично участку №1 для изменения углов тангажа в интервале u_max … - u_max.

В) Торможение до V = 0 осуществляется в течение времени T_x4.

Расчет осуществляется аналогично участку № 2.

Г) Переход в вертикальное положение продолжительностью T_x5.

Расчет осуществляется аналогично участку №1.

Таким образом, общая продолжительность движения в продольном направлении составляет T_x = T_x1 + T_x2 + T_x3 + T_x4 + T_x5.

Из расчетов, произведенных интегрированием упрощенной системы уравнений движения (7), получена программа управления продольной составляющей скорости (рис. 10) для варианта удаления от точки посадки на 200 м и для трех вариантов максимального угла тангажа 2,5, 5 и 10⁰.

Рис. 10. Программа управления продольной скоростью

Кроме того, данный алгоритм учитывает изменение высоты полета , связанное с изменением угла тангажа и, как следствие, уменьшением вертикальной составляющей тяги двигателя. Полученное изменение высоты учитывается в алгоритме движения по высоте (H₀ = H - ΔH).

1. Управление по высоте

В целях минимизации времени выполнения задачи и, как следствие, минимизации расхода топлива время снижения T_y не должно превышать времени движения в продольном направлении T_x.

Исходя из условия T_y = T, определяется максимальное значение вертикальной скорости V_ymax = H₀/T_x с учетом участков разгона до заданной скорости и торможения до заданной скорости в момент касания поверхности. Разгон и торможение осуществляется путем изменения степени дросселирования маршевого двигателя. Отсюда получаем программу движения по высоте:

1. Набор скорости в течение времени T_y1.

Расчет движения с ускорением до достижения заданной вертикальной скорости V_ymax.

1. Движение с постоянной скоростью осуществляется в течение времени T_y2
2. Торможение продолжительностью T_y3.

На рис. 11 приведена программа управления вертикальной скоростью для варианта снижения с высоты 200 м и удаления от точки посадки на величину L= 200 м. Расчет производился для трех вариантов максимального угла тангажа (2,5⁰, 5⁰ и 10⁰).

Рис. 11. Программа управления вертикальной скоростью

Движение по полученным программам управления скоростями V_x и V_y реализует траектории близкие к той, что была получена с использованием методов оптимального управления. На рис. 12 представлено сравнение траекторий, полученных для трех максимально допустимых углов тангажа (2,5⁰, 5⁰ и 10⁰).

Рис. 12. Программа управления координатами

Полученные программные траектории характеризуются тем, что заложенное время полета для тангажа 5 градусов составляет 80 сек, а для тангажа 10 градусов – 60 сек., что соответствует заданному времени полета для траекторий, полученных путем вычисления программы включения двигателей. Кроме того, сами траектории и заданные значения скоростей, полученные при упрощенном и полном вариантах реализации практически идентичны (рисунки 13, 14), следовательно, расход топлива при отслеживании траекторий, полученных этими двумя способами, будет примерно одинаков.

Рис. 13. Сравнение упрощенного алгоритма и алгоритма, основанного на методах оптимального управления

Рис. 14. Сравнение упрощенного алгоритма и алгоритма, основанного на методах оптимального управления

Очевидно, что чем меньше время выполнения задачи посадки, тем меньше будет расход топлива, однако, такая экономия может неблагоприятно сказаться на точности и безопасности выполнения задачи.

В результате получили метод формирования программной траектории с использованием методов оптимального управления, целью которого является минимизация расхода топлива. Данный метод предназначен для использования при проектировании КА, реализующего мягкую посадку ЛА на лунную поверхность.

Список литературы

1. Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов. М. : Наука, 1982. 408 с.
2. Лётов А. И. Динамика полета и управление. М. : Наука, 1969. 360 с.
3. Хуан Ичун Оптимальное управление маневром лунного аппарата на выбранную точку мягкой посадки между зависаниями // Труды МАИ, вып. № 90.
4. Лихачев В. Н., Сихарулидзе Ю. Г., Федотов В. П. Заключительные этапы торможения и методика расчета параметров управления движением КА, совершающего мягкую посадку на Луну // Вестник НПО им. С. А. Лавочкина. 2013. №. 1(70).

 

Материал поступил в редакцию 18.05.2018
© Локтева Е. С., 2018