Построение траектории движения космического аппарата в слоях атмосферы

Аннотация: В статье рассматривается движение космического аппарата в атмосфере Земли и силы, действующие на него. Производится расчет параметров, необходимых для построения математической модели. Осуществляется пересчет необходимых величин в безразмерные и строится математическая модель. Производится исследование модели, и делаются выводы о важности исследования участка движения космического аппарата в атмосфере.

Запуск первого искусственного спутника Земли был осуществлен 4 октября 1957 года. Это событие ознаменовало начало новой эры в жизни человечества, что способствовало стремительному развитию инженерных наук и различного рода технологий. Благодаря этому человечество смогло ставить перед собой новые, казавшиеся ранее невыполнимыми задачи и успешно их решать. Одна из таких задач актуальна и по сей день – это создание возвращаемых космических аппаратов. Наиболее трудным вопросом при решении данной проблемы является построение оптимальной траектории снижения космического аппарата при движении в слоях атмосферы. Особое внимание этому вопросу уделяется в связи с тем, что на высоте 100…110 километров начинают обгорать антенны и солнечные батареи, установленные на космический аппарат, а уже на высоте 60…70 километров происходит максимальное разрушение аппарата и крупные части разделяются на мелкие фрагменты. В связи с этим необходимо уделить особое внимание построению оптимальной траектории снижения для сохранения целостности космического аппарата.

Для решения поставленной задачи предлагается продемонстрировать приблизительную траекторию движения космического аппарата в атмосфере, определить силы, действующие на него, вывести уравнения движения. Затем, задавшись необходимыми параметрами, а именно: аэродинамическими коэффициентами, массой и скоростью входа в атмосферу, реализовать полученную модель при помощи программного пакета Matlab.

Приблизительный вид траектории движения аппарата и силы, действующие на него, показаны на рис. 1.

Рис. 1. Траектория движения аппарата и силы, действующие на него

В нашем случае ось 0η направлена из центра Земли в точку входа в атмосферу, а 0ξ ей перпендикулярна и направлена в сторону движения. Ось 0y – местная вертикаль, а x перпендикулярна 0y и лежит в плоскости местного горизонта. Таким образом, получаем, что 0ξη - неподвижная система координат с началом в центре Земли. Вектор скорости обозначим .

Для простоты примем, что центр давления совпадает с центром масс. В этом случае сила лобового сопротивления  направлена в противоположную сторону от вектора скорости, а подъемная сила  перпендикулярна . В рамках данной задачи форма Земли – сфера, а ее гравитационное поле постоянное, то есть, не зависит от высоты полета. Помимо вышеуказанных допущений сделаем ещё одно: пренебрежем скоростью движения атмосферы, обусловленной вращением Земли.

С учетом всех допущений выражение для момента импульса можно записать следующим образом:

С учетом того, что:

Направление скорости мы можем задать ортом оси z: . Учитывая это, можем записать:

где   - орт подъемной силы.

С учетом всего сказанного, проекция выражения момента импульса на направление вектора скорости будет записана в виде:

Учтем, что:

Получим систему:

Полученную систему необходимо дополнить двумя кинематическими соотношениями:

При решении задач спуска принимается экспоненциальный закон уменьшения плотности:

где β = 1/7170 [м-1].

Для удобства составления математической модели введем безразмерные скорость, высоту и дальность, обозначив их u,h и l соответственно:

где   – первая космическая скорость.

С учетом всех введенных обозначений математическая модель будет выглядеть следующим образом:

где   

При решении поставленной задачи необходимо учитывать баллистический коэффициент, являющийся мерой лобового сопротивления:

Для построения оптимальной траектории необходимо задаться рядом параметров, а именно: радиусом Земли, начальным значением плотности воздуха, значением ускорения свободного падения, массой космического аппарата, площадью миделя, аэродинамическими коэффициентами и вычислить значение коэффициента A₁. Необходимо сделать уточнение, что в качестве массы будет вводиться масса возвращаемой части аппарата.

Примем радиус Земли R₀ = 6371 км, начальное значение плотности воздуха ρ₀ = 0,142 , ускорение свободного падения g = 9,81 , m = 5000 кг, S = 17,36 м, C_x = 1,44. Введенные значения позволяют нам вычислить баллистический коэффициент, σ и он будет равен 0,05. Подставляя полученные значения в выражения для коэффициента A₁ получим, что он равен 2,8. Зададим A₂ = 0,012 и A₃ = 1,1.

При построении математической модели используются безразмерные величины: скорость, высота и дальность. После введения необходимых начальных значений мы можем вычислить скорость – u = 1.4,высоту - h =19.53 и дальность l = 0. В системе уравнений присутствует угол θ, который является величиной наклона траектории. Пусть начальное значение θ = 2º, что при переводе в радианы составляет 0,035.

Как уже было оговорено выше, решение системы (1) осуществляется при помощи программного пакета Matlab. Листинг основной программы представлен на рис. 2. В коде программы содержатся все необходимые комментарии, детально описывающие принцип ее работы. Необходимо уточнить, что интегрирование системы уравнений производится с помощью метода Эйлера первого порядка. Выбор в пользу этого метода решения системы дифференциальных уравнений был сделан в виду простоты его реализации и поддержания необходимой точности вычислений.

Рис. 2. Листинг основной программы

Листинг программы, в которой реализована функция El, представлена на рис. 3. В коде присутствуют все необходимые комментарии, благодаря которым можно пошагово отследить принцип работы функции El. Важной особенностью этой программы является то, что метод Эйлера реализован вручную, без применения встроенных функций Matlab. Преимущества такой реализации следующие: во-первых, код программы становится более наглядным и доступным для отладки, что упрощает процесс поиска ошибок и внесения необходимых доработок; во-вторых, удается избежать ряда особенностей пакета Matlab, которые могут повлиять, как на быстродействие программы, так и на конечный результат.

Рис. 3. Листинг, содержащий в себе реализацию функции El

Результат работы программы приведен на рис. 4, на котором изображен график зависимости высоты полета от времени.

Рис. 4. Результат работы программы 

Анализируя полученный результат, приходим к выводу, что при заданных параметрах происходит успешное снижение космического аппарата в атмосфере Земли, то есть, получившаяся траектория является допустимой. Безусловно, в сравнении с теоретической, приведенной на рис. 1, существуют некоторые отклонения, но они обусловлены введением ряда параметров, указанных выше, которые, в свою очередь, максимально приближены к параметрам реального космического аппарата.

В заключение необходимо отметить, что для полноты исследования необходимо построить несколько траекторий с различными начальными углами наклона траектории, так как в разные моменты вход в атмосферу может происходить совершенно по-разному в виду обстоятельств, которые довольно трудно предсказать заранее. Необходимо учесть, что форму Земли не всегда можно принимать за сферу, а гравитационное поле нашей планеты не всегда постоянно. Наряду с этим важно учесть, что при более серьезных исследованиях не следует пренебрегать движением атмосферы, обусловленным вращением Земли.

Таким образом, не смотря на обилие принятых допущений, полученная математическая модель позволит производить более серьезные исследования и получать результаты, способные помочь сделать новый шаг в развитии космической техники.

Список литературы

1. Юрескул А. Г. Системы управления летательными аппаратами. Конспект лекций: учебное пособие // Балт. Гос. Техн. Ун-т. СПб., 2014. 254 с.
2. Разыграев А. П. Основы управления полетом космических аппаратов. М. : «Машиностроение», 1990. 264 с.
3. Топчеев Ю. И., Потемкин В. Г., Иваненко В. Г. Системы стабилизации. М. : «Машиностроение», 1974. 284 с.
4. Разоренов Г. Н., Бахрамов Э. А., Титов Ю. Ф. Системы управления летательными аппаратами. М. : «Машиностроение», 2003. 584 с.
5. Гультяев А. Г. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс. СПб. : Питер, 2000. 432 с.

 

Материал поступил в редакцию 20.06.2018
© Полянин К. С., 2018