Математические методы аддитивных технологий

Аннотация: В работе исследованы современные аддитивные технологии. Также дан общий алгоритм производства данных технологий. В качестве математических методов рассмотрены самые эффективные и распространенные, такие как метод топологической оптимизации и метод конечных элементов. Определены преимущества и недостатки данных методов. Предлагается структура и состав тестового контента обучающей системы Learning Space по данной теме.

Аддитивные технологии (далее – AF) производства позволяют изготавливать любое изделие послойно на основе компьютерной 3D-модели. Такой процесс создания объекта также называют «выращиванием» из-за постепенности изготовления. Если при традиционном производстве изначально имеют заготовку, от которой отсекают все лишнее, либо деформируют ее, то в случае с аддитивными технологиями из ничего (а точнее, из аморфного расходного материала) выстраивается новое изделие, иначе говоря, от простого – к сложному. В зависимости от технологии, объект может строиться снизу-вверх или наоборот, получать различные свойства [1]. К этим технологиям относятся: печать на ЗD-принтере, намотка нитью, напыление слоев вещества и т. п. Общий алгоритм производства состоит из следующих этапов:

1) Создание 3D-модели:

В первую очередь цифровая модель создается в САПР, где можно выявить конструктивные недочеты и нюансы. Если поставлена задача оптимизации модели, то для этого применяют метод конечных элементов. Дополнительно, прорабатываются оси поддержки и подложки, для стабильности конструкции.

2) Расслаивание модели:

Расслоение модели необходимо для того, чтобы наглядно увидеть модель, преобразовать ее в печатный вид. Для этого ее необходимо разделить на тонкие горизонтальные слои и перевести в код, понятный 3D-принтеру. Качественная проработка слоев влияет на внешний вид и свойства конечного изделия. Модель в этот момент можно привести к виду трехмерной функции f_t(x, y, z) где x и y задают положение экструдера в горизонтальной плоскости, а z, задает положение по вертикали и толщину слоев.

3) 3D-Печать:

Отправив подготовленную модель на печать, получают почти полностью автоматизированный процесс, с минимальным участием человека. Печать может производиться различными материалами, такими как металл, пластик, керамика, органика, так и разнообразными способами, экструдированием (выдавливанием), стелиографией, лазерным спеканием и т. д., с общим принципом наслоения. Качество изделия зависит от установленного разрешения печати, применяемых материалов и времени, выделенного на печать. Финальным этапом является полировка и обработка [2].

Наибольшую эффективность и распространение среди прочих математических методов, при разработке цифровой модели получил метод топологической оптимизации методом конечных элементов.

Математические методы топологической оптимизации, направлены на установление оптимального распределения материала на этапе печати при заданных нагрузках с удовлетворением установленных критериев и ограничений. Применяя их, можно получить деталь сложной формы, лежащей за пределами интуиции и фантазии инженера, однако, качественно и характеристически превосходящую ее «традиционный» аналог.

Метод конечных элементов (далее – МКЭ) – это численная процедура решения задач, сформулированных в виде дифференциального уравнения или вариационного принципа. МКЭ отличается от классических методов Ритца и Галеркина тем, что любую непрерывную величину (например: температуру, давление, перемещение) можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей (элементов), при этом кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области [3].

Построение дискретной модели непрерывной величины осуществляют следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми (или просто узлами).
2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами (или конечными элементами). Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом (или какой-либо другой функцией), который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранилась непрерывность величины вдоль границ элемента. Этот полином называют ещё функцией элемента.

Аналогичный порядок действий применяется при двух- и трехмерной области. В двумерном случае элементы описываются функциями от x, y трехмерная же модель описывается функциями от x, y, z. При этом чаще всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырёхугольника, или же приводят к ним сложные фигуры. Метод конечных элементов обладает рядом преимуществ, подходящими для аддитивных технологий:

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми, что позволяет использовать этот метод к телам, состоящим из различных материалов.
2. Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.
3. Размеры элементов могут варьироваться. Это позволяет увеличить сеть в местах, где точность не столь необходима, для снижения процессорной нагрузки, или наоборот, измельчив сеть, повысить точность и нагрузку.
4. С помощью МКЭ не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий. Причем, и это принципиально важно, метод позволяет решать задачи с моделями, содержащими миллионы и десятки миллионов степеней свободы, необходимых для обеспечения высокого уровня адекватности математических моделей реальным композиционным материалам, физико-механическим и технологическим процессам, реальным промышленным конструкциям.

К недостаткам МКЭ можно отнести повышенную сложность, в сравнении с методом конечных разностей, и высокую погрешность при разбиении области на равносторонние треугольники. Проблема погрешности была решена применением алгоритмов, основанных на триангуляции Делоне, что в свою очередь позволило создать полностью автоматизированные САПР.

В заключение, следует отметить, что аддитивные технологии, крайне перспективны и уже активно применяются во множестве отраслей, от производства авиадвигателей до строительства зданий.

На основании приведенного исследования был разработан обучающий курс в системе LearningSpace, содержащий теоретический и тестовый материал по данной теме. Для облегчения переноса курса [4], обучающая система LearningSpace реализована в виртуальной среде.

Список литературы

1. Сагдеева Ю. А., Копысов С. П., Новиков А. К. Введение в метод конечных элементов. Ижевск : Изд-во «Удмуртский университет», 2011. 44 с.
2. Зленко М. А., Нагайцев М. В., Довбыш В. М. Аддитивные технологии в машиностроении. М. : ГНЦ РФ ФГУП «НАМИ», 2015. 220 с.
3. Edward Aboufadel, Sylvanna V. Krawczyk, Melissa Sherman-Bennett 3D Printing for Math Professors and Their Students. California State University, 2013. 18 p.
4. Сотников С. В., Урахчинский И. Н. Применение технологий виртуализации для построения операционной и сетевой среды обучающих систем // Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)». 2012. V. 15. № 4. [Электронный ресурс]. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html (дата обращения: 26.07.2017). 

Материал поступил в редакцию 07.08.2017
© Якупов Р. Р., 2017